今回は小学生の生徒が多く苦戦する「立体の切断」について解法をパターン化して紹介したいと思います。中学受験（特に難関校）で必須の分野なので、生徒さんに苦手意識を持たせないようにしっかりと解説してあげましょう。私は小学生の生徒に立体の切断について教えるときは、「ものすごく大きな包丁でまっすぐ切るイメージ」と伝えます。実際に問題で出るときは「これら3点を通る切断面を求めよ」みたいな感じになるわけですが、それら全ての点は同じ面にあることが重要です。以上のことを踏まえたうえでここから解説に入りたいと思います。
立方体の切断面
問題で頻出の立方体を題材に、どのように切断面を考えていけば良いか説明したいと思います。切断面を求めるときの基本事項は
①同一平面上にある2点は直接結ぶ
②向かい合う平面の切り口は平行である
の2点です。これらを念頭に置いて以下で一緒に考えていきましょう。
立方体の辺上の点を直接結べる箇所が1つの場合
例えば右図のような場合がこの場合に該当します。ここでは3点A,B,Cを通る切断面を求める問題とします。まず上で紹介した原則①を使うと緑の線分ABを結ぶことができます。次に②を使うと黄色の線分CFを引くことができます。そしてここからが問題です。原則①、②はここまでしか使えないので先ほど書いた「大きな包丁で切るイメージ」を思い出します。ここで青色の線のようにABの延長した線と立方体の1辺を延長した交点を求め、そこからCに向かって線を引くと切断面になります。なぜこうなるのでしょうか？重要なのはやはり「3点A,B,Cは同一平面上にある」ということに集約されます。まずAとBは同一平面上にあるので、それを伸ばした直線ABの任意の点は切断面上にあります。よってこの直線と、伸ばした正方形の1辺の交点も当然切断面上にあります。（右図でいうSのこと）。ここでSとCが両方とも切断面上にあるのでその結んだ直線SC上の任意の点も切断面上に位置することになります。よってSCと正方形の1辺の交点であるDも切断面上にあることになるのです！長くなりましたが、すると原則①を使って線分ADを引くことができ、また線分CDと平行な線分BEを引くことができます。最後にEとFを結んで切断面の出来上がりです！
埋まっていく線分の色の順番としては、緑→黄→青→黒→赤→金となります。
立方体の辺上の点を直接結べる箇所が0の場合
次は左図のような状況です。3点A,B,Cを通る切断面を求めます。最初から原則①、原則②を使うことができません。このような場合はどうしたら良いでしょうか？まずAB（ABは立方体の中を通過していることに注意！！）を伸ばします。この直線ABと正方形の上面の交点がSになります。（立方体の右上の点から伸びている赤い点線は、立方体の辺の延長線ではありません！単純に立方体の上面と同一平面上にあることを意味しています。）そしてSとCを結び、交点をDとするとDは切断面上に位置することになります。先ほどと同様の理由になります。直線ABは切断面上に位置するのでこの直線状の任意の点は切断面上にあります。よってSも切断面上にあります。Cは当然問題文より切断面上にあるので直線SC上の任意の点も切断面上にあることになり、よってDも切断面上にあります。あとは原則①、②を使うと線分AD、BE、CE、AF、BFの順に結ぶことができ、切断面を求めることができます。順番を線分の色で表すと、赤→緑→青→黄→黒→紫→金となります。
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