規則性の問題とは
規則性の問題とは、
ある規則に基づいて並べられた数やカードの情報が問題文に示され、それを正しく読み取れれば正解にたどり着くことができるという形式の問題です。
高校数学ではシグマなどを用いる問題も、「算数」では、厳密性を無視されたうえで、出題されます。
したがって、総和の公式など、公式の表し方が比較的難しいものであったり、使い方が難しいものが多いのです。
ですから、教える時には注意が必要です。
なお、これからポイントを紹介していきますが、心掛けていただきたいことが２つあります。
１つは、「この問題はこれを使って解く」ということを繰り返し説明し、実際に書かせること
です。
算数という分野は、教えられて分かった気になってもいざ自分で解いてみると解けないという事がよく起こります。
生徒が大体わかっていると思って何となく聞いていたり、分かった気になっている場合が多いからです。
これは生徒が悪いのではなく、その点を考慮して教えられていない側の問題です。
たとえば、ある規則に基づいて並べた数列についての問題の場合、「ある規則」というのを数字を見ていると何となく分かる生徒はいても、本当に分かっているかどうかは実際に区切りを入れさせてみないと分かりません。
また、頭の中だけでやる生徒が本当に分かっているのかどうか答えだけを見ても分かりません。
生徒の状況を把握するためにも生徒に「分かったことを書く」ことを徹底させましょう。
途中までの数字を見て「数字の数の個数だけ同じ数が並んでいる」などの誤った判断をするかもしれません。
それを生徒がノートに書けば生徒は分かっていないことが一目で分かります。
さらに、この「規則性」という分野は特に得意不得意の差がつきやすい分野で、できる子は何となくでも解いてしまうのに対し、できない子はなかなか手が進みません。
解けた子には「あ、こういう風に考えればもっと早く解けたのか」と気づく機会を与え、解けない子には「こうやって解けばいいのか」と学ばせる機会を与えるような授業をする必要があります。
心がけていきたいポイントのもう１つは、
解法を生徒に理解させると同時に、
生徒それぞれに合った解き方を取捨選択する必要があることです。
この分野は場合の数の分野のように解法が1通りとは限らない問題が少なからずあります。
生徒の考え方を改めるだけでなく、私たちが生徒それぞれの性格に合った解法を教えることも必要です。
それではまずは「区切り」に関する問題を見ていきましょう。
高校数学では「群数列」という名前がついている問題です。
問題を解いてみる
それでは実際に中学入試問題を用いてどのように解いていくか解説していきます。
今回は説明と同時に板書方法の一例を載せておきます。
それぞれの塾のやり方、個別等あるのであくまでも一例として参考にしてください。
出だしとして以下のように板書しておきます。
問題
ある規則にしたがって数を並べると
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, ・・・
となります。このとき次の各問いに答えなさい。
(1) 初めて21が出てくるのは何番目ですか。
(2) 80番目の数を求めなさい。
(3) 1番目から100番目までの数の和を求めなさい (栄東)
解説のポイント
解説する前、すなわち生徒が問題を解いている間にもやるべきことがあります。
それは、
生徒がどのような解き方をしているか把握すること
です。先ほど説明したポイント、「生徒それぞれに合った解き方」を授業中や授業後にフォローするためにも生徒の解き方を事前に知っておきましょう。
なお、数え上げて解く方法については最後にどう指導すべきか紹介しています。
それでは実際に解説していきます。以下のように6つずつに「区切り」を入れることがポイントです。
1 2 2 3 3 3 | 4 5 5 6 6 6 | 7・・・
これで「1個、2個、3個」の群が並んだ数列ということが分かりやすくなりましたね。黒板で説明する場合は以下のように書くと生徒も気づきやすいでしょう。
このように区切りを入れて群に分けると、第○群の最後の数が何かを○を使って表せます。つまり、
第○群の最後の数 ＝ ３×○
となります。実際、第１群から順にみていくと、３、６、９、・・・ となっていますね。
補足ーこの数列はどういう規則で並んでいるのか？
この数列がどのように並んでいるのか文章で説明すると、「1から順に、3で割って1余る整数が1個、3で割って2余る整数が2個、3で割り切れる整数が3個の群が並んだ数列」
となります。このように図を文章で説明するのは難しくなることが多いので省略または口頭での説明だけで十分でしょう。
問題別に見る
それでは問題ごとに解説です。
(1)
21は3で割り切れる整数なので6個ずつの整数の群に分けると、後半の3個に21が出てきます。21は21÷3=7であることから7番目の群に含まれています。したがって最後の21が現れるのは6×7=42番目となります。以上より、42-2=40 が答えとなります。
もちろん、7番目の群に含まれていることが分かった後は6番目の群の最後が36番目であることから36+4=40 とし、答えを出すのもOKです。
(2)
今度は何番目の数が何か、という(1)とは逆の問い方です。
ポイントは
- 「○番目の数は△番目の群に入っている」を明らかにすること
です。80÷6=13あまり2 なので13×6=78番目が13番目の群に入っています。
したがって、80番目の数は14番目の群に入っていることが分かります。
割り算の結果だけをみて13番目の群、と生徒が選ばないように注意しましょう。
また、割り算の結果で13と出たので「13か14だな」と考え、適当に選ぶ生徒もいます。
その場合は「今何を求めたいのか」を再確認し、論理的にどっちが正しいのか選ばせるようにしましょう！
どの群に入っているか分かればあとは計算するのみです。
13番目の群の最後の数は3×13=39なので、そのあとは40, 41, 41, 42 ・・・と並んでいることから80番目は41となります。
(3)
今回は総和を求める問題です。前提として以下の公式を覚えておく必要があります。
数列の最初の数を初項、最後の数を末項、数列の数字の個数を項数、同じ数ずつ増えていく（減っていく）数列を等差数列といいます。このとき
等差数列の和 = （初項 + 末項） × 項数 ÷ 2 となります。
この公式の導出については以前の記事
で紹介していますのでそちらを参照して下さい。
ここではその利用方法を説明します。
まずは先ほどの問題と同じように、
100番目の数はどの群に入っており、その群の何番目か
を明らかにします。
100÷6 = 16あまり4 ですので、17番目の群の4番目にあることが分かります。
したがって、16番目の群の最後の数が16×3 = 48であることから、49 50 50 51 と続くので100番目の数は51と分かります。
次に総和を求めたいのですが、この数列自体は等差数列ではありません。
さて、どのように求めればいいのでしょうか・・・
実はここでも群に分けることで等差数列の公式を用いて計算できます！
まずは、下の図を見てみましょう。
先ほど説明した図に新たに書き加えた右半分に注目してください！
・・・分かりますか？
群に分けることで第１群の1番目の数１と第２群の1番目の数４の差は３、2番目同士、3番目同士、・・・6番目同士も差は３となります。
ということで、隣り合う群の差は３×６＝１８となります。
つまり、
群の中で総和をとって、それを並べると差が18の等差数列になっている！
のです！
それでは第17群までの総和を求めましょう。
第１群の中の数の総和は、1+2+3+3+3=12です。
第17群の中の数の総和は49+50+50+51+51+51=302となります。
あとは公式に入れると、
（12+302）×17÷2=2686
となります。
これは1番目から102（=17×6）番目までの総和なので最後の2つを引けば答えです。
したがって、2686-51-51=2584 が答えとなります。
最後に ー すべて数え上げて解く方法について
規則性の問題で「～番目の数は」という問題で特に多いのですが、下の図のように最初からすべて書き下して数え上げる生徒がいます。
このような解き方をした生徒に教える時に絶対にやってはいけない教え方があります。
それは
「その解き方は時間もかかるし、数が大きくなると大変だから群に分けてやりなさい」
というものです。そもそも生徒にとって問題とは解くためにあるものです。
時間がかかろうとも正解すれば問題ありません。
このような言い方をすると生徒は自分のやったことが間違いだと勘違いし、やる気をなくしてしまいます。時間がかかろうとも問題を解くこと自体を否定してはいけません。
ただ、時間をかけすぎると他の問題が解けなくなるので、1つの問題に時間をかけすぎることは結果として他の問題が解けなくなる、ということなのです。
実はこの解き方、少し工夫するだけで群に分けるときと同じくらい楽に解けます！
たとえば、以下のように10個ずつ並べて書けば２１まで書いた後に１０×４＝４０（番目）と、数えやすくなります。
さらに、6個ずつ並べて書き最後の数が3の倍数だという事に気づければ、以下のように書き下すだけで6×6+4(または6×7-2)=40(番目）と、答えがわかります。
このようにすべて書き下すことは悪いことではありません。
むしろ
頑張って問題を解こうとする姿勢が感じられる！
工夫すれば区切りを付けることと同じくらい楽に解ける！
という良い点が挙げられます。したがって、数え上げて正解した生徒に対しては
「よくすべて数え上げたね！えらいぞ！」
とまずは褒めてあげましょう。
その上で算数に自信がある生徒に対しては
「こうやって数え上げるともっと早く楽に解けるんじゃない？」
「こうやって区切りを入れるとどうなるかな？」
とよりよい方法を紹介しましょう。
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